التعامد ونظرياته

 تعامد مستقيمين :-
* اذا تقاطع مستقيمان فإنهما يتقاطعان في نقطة واحدة وينتج من التقاطع أربع زوايا مجموع كل زاويتين متجاورتين منها 180 ْ فإذا كانت الزواية الناتجة من تقاطعهما قائمة فإن المستقيمين متعامدين
.
 

 

 تعامد مستقيم مع مستوى:-
تعريف: يقال المستقيم عمودي على المستوى اذا كان عموديا على كل مستقيم في المستوى.

 

الزاوية الزوجية:-
 
الزاوية الناتجة من تقاطع مستويان مثل س،ص فإن تقاطعهما هو مستقيم وليكن أب فالناتج هو الزاوية الزوجية جـ _أب_د.


 

 

 تعامد مستويين :-
 تعريف: يقال للمستويين أنهما متعامدان اذا كانت الزاوية الزوجية بينهما قائمة.

 

 

نظريات التعامد:-

  نظريـة (1) : إذا عامد مستقيم كلا من مستقيمين متقاطعين في نقطة تقاطعهما، فإنه يعامد المستوى الذي يحويهما.

  نظرية (2) : جميع المستقيمات العمودية على مستقيم معلوم من نقطة عليه تقع في مستوى واحد.

  نظرية (3) : المستقيمان العموديان على مستوى متوازيان.

  نظرية (4) : إذا توازى مستقيمان، وكان أحدهما عمودا على مستوى، كان الاخر عمودا عليه.

 

 

برهان نظرية(4):-

 المعطيات: أب// جـ د.

                             أب عمودي على المستوى س.             

 المطلوب: إثبات أن جـ د عمودي على المستوى س.

 البرهان: لنفرض أن جـ د ليس عمودا على المستوى س. نرسم من د المستقيم د هـ عمودا على المستوى س.

 فسيكون أب // هـ د (نظرية).

 لكن أ ب // جـ د (بالفرض).

بما أنه من نقطة واحدة لا يمكن رسم مستقيمين موازيين لثالث، فإن المستقيمين هـ د، جـ د ينطبقان على بعضها بعضاً

إذا جـ د عمودي على المستوى س.

 

 نظرية (5) : من خلال نقطة داخل أو خارج مستوى، يمر مستقيم واحد فقط عمودياً على المستوى.

  نظرية (6) : أقصر بعد بين نقطة خارج مستوى وبين المستوى هو طول العمود النازل من تلك النقطة على المستوى.

 

 

برهان نظرية(6):-

 ،المعطيات: أ ب عمودي على المستوى س في النقطة ب  

                  جـ أي نقطة في المستوى.

المطلوب: إثبات أن أ ب < أ جـ.

البرهان: بما أن أ ب عمودي على المستوى س، فإن أ ب عمودي على ب جـ، لأن ب جـ مستقيم في المستوى س.

إذا المثلث أ ب جـ قائم الزاوية في ب

إذا قياس الزاوية أ جـ ب < قياس الزاوية أ ب جـ

إذا أ ب < طول أ جـ .

 

 

 نظرية (7) : كل مستقيمين متخالفين، يمكن أن يمد بينهما مستقيم عمودي على كل منهما، وهذا العمود هو أقصر بعد بينهما.

 

مثال :                                                                         

إذا كان أ ب عمودا على المستوى س في النقطة ب ، وكان جـ د مستقيما في المستوى س ، ورسم من ب عمود على جـ د ولاتقى به في هـ ، برهن أن أهـ عمودي على جـ د.

 

الحل :-

المعطيات : أب عمودي على المستوى س ، ب هـ عمودي على جـ د .

المطلوب : إثبات أن أ هـ عمودي على جـ د .

البرهان : نرسم من ب المستقيم ب دَ // جـ د في المستوى س.

بما أن أ ب عمود على المستوى س.

جـ د عمود على ب هـ              من المعطيات

بما أن جـ د // ب دَ

إذا الزاوية هـ ب د قائمة

أي أن ب دَ عمود على ب هـ

تلاحظ أن :

ب دَ عمود على ب هـ

ب دَ عمود على أ ب

وبما أن ب دَ ، جـ د متوازيان ، وأحدهما ( ب.دَ) عمودي على المستوى أ ب هـ فإن الاخر (جـ د) عمودي على المستوى أ ب هـ.

إذا جـ د عمودي على أ هـ.

 

مثال

 

  نشاط

 

رجوع